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神奇的动物——猫,真的是液体吗?通过严格的物理和数学证明

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神奇的动物——猫,真的是液体吗?通过严格的物理和数学证明

大多数当代物理学家关心的是技术上的、宏观上的问题,如为什么中微子有质量,而标准模型说它们不应该有质量?为什么量子场论和广义相对论是不可调和的,即使它们在经验上都是有效的?核聚变能作为一种有效的能源吗等等。这些问题很重要,但并不是每天都要问的问题,公众关心的实际问题。例如,猫是液体还是固体?

最早认真研究这个问题的研究员似乎是一个名叫汤姆的人,通过题为《猫是液体的15种证据》发表了他的发现。汤姆从15个实验的结果中得出(这些实验使用了各种品种的猫和不同形状的容器),猫有倾向于呈现它们容器的形状,这是液体和气体的基本属性。此外,在实验中,猫的体积变化可以忽略不计,而体积变化是液体的一种特性。

也许是对汤姆的研究的严格定性不满意,同年晚些时候,法丁进行了进一步的研究,他对液体进行了更严格的定义,并在题为“猫的流变性”的论文中讨论了这个问题。法丁发现,与最初的研究相比,猫表现出更丰富、更复杂的流变行为,因此严格地说猫是液体并不恰当。

液体,固体和气体

法丁使用现代流变学的语言来讨论这个问题。现代流变学是力学的一个分支,研究同时具有流体和固体特性的材料的运动。流变学本身是连续介质力学的一个分支,它研究宏观物质体的运动,这些宏观物体被假定完全填满了它们所占据的空间(即忽略分子结构和其他微观缺陷和不连续)。

连续介质力学中所研究的材料类型可以根据其形状改变的难易程度来衡量。一端是理想牛顿流体,它对施加的应力完全没有抵抗作用,只要施加了应力,不管应力有多弱,它就会变形。另一端是理想刚体,它在任何应力下都不会变形,无论应力有多强。

因为流动运动是由微小的变形形成的,我们也可以说,牛顿流体只能流动,不能被推动,而刚体是一种只能被推而不能流动的物质。流变学研究的是介于液体和固体之间的物质的运动。

例如,冰川是由固体冰组成的,在短时间内观察它们时,它们看起来是固体的,但在足够长的时间尺度上,冰川会移动和流动,就像一条河流。

普通液态水也表现出类似的行为。当水球被刺破时,水不会立即溅出来。在极短的一瞬间,水大致保持了气球的形状。

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这表明,在很短的时间内,水具有类似固体的行为,只有在观察足够长的时间后才开始像液体一样。

这是一个普遍趋势的两个例子,一个物质样本在很长一段时间内更像液体,而在很短一段时间内更像固体。

为了确定在特定的实验中,材料样品更像固体还是液体,我们给该材料指定一个参数De:

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在这个公式中,T是实验持续时间,τ称为松弛时间,是一个特征时间尺度,给定的材料倾向于进行变形过程。在实验中,De大于1表示物质更像固体,而小于1表示物质更像液体。

在他的论文中,法尔丁假设实验时间是完全受控的,因此他研究了松弛时间,以确定猫在多大程度上是液体。

那么猫是液体吗?

法尔丁进行了一个非常简单的研究,以找出松弛时间的可能取值范围。利用数值模拟技术,法丁得出结论,猫在1秒的实验时间尺度上表现得像固体。我们也可以通过观察猫从一个很小的高度掉下来来得出同样的结论,当猫用脚着地时,它会表现得像一个固体。

从更长的时间尺度来看,法尔丁考虑了下面这个小猫坐在酒杯里的例子:

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在这个例子中,小猫在进入平衡状态后,“匹配”了容器的几何形状,因此它的行为就像液体一样。通过对猫的观察,可以发现它们“变形”所需的时间,在一个容器里安顿不超过几分钟,所以可以说猫在1分钟的时间尺度上表现得像液体。

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由于猫在1秒的实验时间尺度上表现得像固体,而在1分钟的实验时间尺度上表现得像液体。所以问题的答案是肯定的。在至少60秒的时间里,一只放松的猫会变成液体,也就是说,类液体的动力学行为会“压倒”类固体的动力学行为。

法尔丁还顺便指出,长毛猫也可以表现得像气体,因为它们的皮毛可以膨胀到装满一个容器。

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现在我们将讨论法丁研究过的猫的其他一些流变学特性。

精确测定松弛时间

在他的实验中,法尔丁将松弛时间τ视为一个标量,但情况不一定是这样。一般来说,τ是一个被称为二阶张量的量,这意味着它依赖于参考系的选择。特别是,τ可以依赖于应力作用于样本的方向,相对于固定在样本中的一组座标轴,称为主座标轴。主轴可以用来有效地描述样品的方向,它们可以被认为提供了一个座标系统,根据样品的几何形状和密度分布,在某种意义上是“自然的”。

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一个刚硬且密度均匀的立方体的主轴从中心开始,并指向各个面。这个立方体对施加在表面上的力的响应将取决于力的方向和施力点相对于主轴的座标。

对于具有更复杂几何形状的物体,特别是可变形物体,主轴的确定要复杂得多,我们在这里就不讨论了。然而,如果物体的长度远远超过其宽度或深度,那么将其长轴(沿物体长度方向穿过质心的一条线)称为主轴是有意义的。沿着主轴的变形叫做拉伸,而垂直于主轴的变形叫做剪切。

在没有容器的情况下,猫似乎更喜欢纵向放松,背挺直,就像下面这个例子。

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有些猫甚至会故意寻找长容器:

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这表明猫在拉伸变形时的松弛时间比在剪切变形时的松弛时间短,所以猫在明显长于容器宽的容器中“更像液体”。所以猫是液体还是固体的问题不仅取决于观察时间,还取决于容器的几何形状。

摩擦学:润湿性和超非均匀性

摩擦学是研究接触和相对运动的表面的学科。当一个表面是固体,一个表面是液体时,我们可能感兴趣的是液体是否“润湿”固体表面。当液滴在某一特定的表面上自由地扩散时,液体被称为湿润。这是因为固体表面和液体之间的分子间的力足以压倒表面张力。另一方面,当表面张力大于分子间的力时,液体保持液滴的形状,我们说液体没有湿润表面。对于水,我们说水润湿亲水表面,而不润湿疏水表面。一个极其难以润湿的表面,如液滴保持接近球形的形状,被称为超疏水表明。

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荷叶上的一滴水。荷叶是超疏水的。

根据这一术语,如果猫在一个表面上自由地伸展,很容易保持接触,那么这个表面就是“爱猫的”,否则就是“厌猫的”。

法尔丁提供了一个超厌猫表面的例子,比如一个草篮。

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目前还没有足够的证据来得出任何关于超厌猫原因的结论,凯西-巴克斯特模型可能是合适的。凯西-巴克斯特的模型表明,微观粗糙的表面,如荷叶,是超疏水的,因为表面张力导致液滴停留在表面微观纹理的凸起上。

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一个水滴在荷叶表面的图。荷花进化出了超疏水的叶子,这样水滴就可以清洁叶子。

然而,这种“荷叶效应”将是相反的。不是粗糙的表面排斥光滑的水滴,而是粗糙的皮毛排斥光滑的表面,在这个例子中是篮子的光滑表面。为了进一步支持这一观点,法尔丁指出,猫更喜欢在粗糙的表面上展开,例如下面这个极端的例子:

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从实际经验来看,我们知道猫似乎更喜欢躺在粗糙的表面上,比如地毯、枕头和键盘。另一方面,猫很难与非常光滑的表面保持接触,比如瓷砖地板。

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特别是,猫对水面的亲和力极低:

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不稳定流

当物质在其体积内各处不断变形时,就发生了流动。当变形速率非常大时,被称为二次流的更为复杂的流体行为开始出现,最终,当变形速率足够大时,流动变成了湍流。在松弛时间为τ的实验中,流态由雷诺数-魏森伯格数给出:

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式中γ为变形速率的大小。对于Rw1,流动简单稳定。这叫做层流。对于Rw=1,二次流开始变得明显。随着Rw持续增加超过1,流动运动开始分解,并转变为湍流,这被称为不稳定性。

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从稳定流到湍流的过渡

那么,猫是否会因为Rw值的增加而表现出流动不稳定性呢?

漩涡是湍流最简单的例子之一。涡流是流体绕轴旋转时的流动,如下图所示:

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由经过的飞机机翼引起的旋涡运动。

法丁举了一只猫在圆柱形容器中旋转的例子,来说明猫确实有旋转运动:

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此外,猫甚至可以在没有容器的情况下进行涡旋运动:

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所以湍流是可能的,但是有一个主要的复杂性。法尔丁解释说,猫不同于水或空气等简单的“被动”液体,它们是“主动的”,这意味着它们有自己的原动力,可以在不受外界影响的情况下自发移动。因此,猫可能经历紊流运动,即使受到可忽略的应力。这意味着我们还不能最终确定增加Rw是否一定会导致猫流动不稳定。

这一切的意义是什么?

显然这是个笑话。这里和法丁论文里的一切显然都是荒谬的。也就是说,除了一些巧妙的双关语和延伸到极限的术语,法丁所写的内容在技术上都是真实的。

这里的要点是,假装“猫是液体的”这一模因能够让玩家在连续介质力学(现代物理学的主要部分,也是机械和土木工程的基础)中引入许多重要理念。

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