大家好！今天和大家分享一道有意思的初中数学竞赛题：求自然数n，使得2^8+2^11+2^n是完全平方数。这道题目的难度还是不小，能够做出来的人数学思维都还不错。下面我们一起来看一下这道题。
说起完全平方数，不少人首先想到的就是配方，将给出的式子配成一个完全平方的形式。所以将2^8看成(2^4)²，2^11看成2×2^4×2^6，2^n看成(2^(n/2))²，这样就可以配出一个完全平方的形式(2^4+2^6)²，从而得到n=12。
直接配方可以得到一个答案，但是是否是唯一答案呢？其实并不一定。比如有网友计算出当n=3时，题目给出的数据也可以配成一个完全平方形式。如下图：
当然，n=3肯定不是这题的答案，为什么呢？
因为完全平方数是指一个数能表示成某个整数的平方的形式，而n=3时，底数并不是一个整数。
虽然n=3不是正确答案，但是至少说明直接配成完全平方的方法并不严谨，那么究竟该怎么做呢？下面和大家分享一个比较繁琐但更严谨的解法。
我们可以先设题干数据为t²，则t为整数(完全平方数的概念)。然后通过移项表示出2^n，再进行因式分解，得到2^n=(t+48)(t-48)。
因为(t+48)(t-48)=2^n，所以t+48、t-48可以写成以2为底的指数的形式，那么可以设t+48=2^a，t-48=2^b，则n=a+b。
t为整数，那么t+48、t-48同样为整数，所以a、b同样为整数且a＞b。两个式子相减，可以得到2^a-2^b=96，提公因式得到2^b(2^(a-b)-1)=96。
到了这一步，如果能够计算出a、b的值，那么n的值也就算出来了。可是，一般来说两个未知数需要两个方程才能解出来，现在一个方程能解出来吗？
先观察一下式子的特点：2的正整数次幂肯定为为偶数，所以2^(a-b)-1的值肯定为奇数。然后将96分解因数，可以发现96的因数中除了1就只有3这一个奇数。如果这个奇数为1，那么2^b=96，b不可能为整数，所以这个奇数只能为3。即2^(a-b)-1=3，2^b=32。这样就可以解出a、b的值，从而得到n的值。
这道竞赛题得到答案并不是太难，但是如何写出一个严谨的过程却并不容易。另外要将完全平方数和完全平方式区分开来，完全平方数的底数也必须是一个整数。你还有更好的方法吗？
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