曉查 賈浩楠 發自 凹非寺
量子位 報道 | 公眾號 QbitAI
一個多月前，著名英國數學家約翰·康威（John Conway）因患新冠肺炎逝世。
斯人已逝，但他留給了世界豐富的知識遺產，最知名的莫過於“生命遊戲”，還有一個困擾數學界50年的難題“康威扭結”（Conway Knot）。
令人意想不到的是，最近這個問題被德州大學奧斯汀分校的一位博士小姐姐Lisa Piccirillo解決了，而且她只用了一週的業餘時間。
△ Lisa Piccirillo
Lisa本人也因此獲得了MIT的tenure-track預聘職位，前途無量。
其實這篇論文最早是Lisa在2018年讀博期間完成的，當Lisa偶然得到這個結果的時候，她並沒有意識到這個問題的重要性。
有一天，她把自己的解決方法告訴了同在德州大學奧斯汀分校的Cameron Gordon教授。Gordon教授大叫道：“什麼？我現在就要去投頂級期刊！”
這一舉動甚至嚇到了Lisa。
直到今年2月，這篇文章才被刊登在學術雜誌《數學年刊》上。想必康威在得知自己提出的問題被解決後，也會感到欣慰吧。
什麼是扭結
「結」這個概念，在日常生活中常被看成是一根有頭有尾的繩子打成的結。但數學家眼中的「結」，是一個首尾相連的閉環結，這種結是無法被解開的。
自上個世紀以來，有關扭結的研究啟發了量子力學、DNA結構和三維空間拓撲學。
所以數學家們自然要發問，在4維空間中是否有與三維空間對應的扭結理論。
但是這裡存在一個問題：在第四個維度上，扭結的繩體可以互相重合穿越，這樣一來，任何扭結都可以解開了。
所以4維空間的扭結不是三維扭結的簡單移植。
4維空間的扭結並不好理解，我們可以藉助3維空間中的的一個球體來想象。
如果切開一個3維球體，可以得到一個未打結的圓環。切開一個4維空間的扭結球體，你可能看到一個打結的環，或者是一個未打結的閉環。
任何能用這種「切開」一個扭結球體而得到的扭結，都稱它們為「可切的」（slice），即片狀結。但也有一些「不可切」的扭結，比如有3個交叉的三葉結。
片狀結提供了3維和4維扭結理論的橋樑。
在4維拓撲學中，片狀結有兩種形式，一種1980年代年提出的理論認為，在4維空間中，不只有我們常規認知的平坦光滑球體，還普遍存在一種皺縮球體，且永遠無法被拉平。所以4維空間中的扭結是否可切，取決於這些特殊的皺縮球體。
這種皺縮的球體並不是4維空間的異常，而是一個十分有用的特徵。4維空間中的片狀結是「拓撲可切」，而不是「平滑可切」。
這意味著數學家可以藉此構造不同版本的普通四維空間，這種4維空間在拓撲學上與其他沒有不同，只不過是褶皺的。
切片性問題是這些奇異的四維空間的 “最低維度探究”。
康威扭結
多年來，數學家們發現了形形色色的扭結，這些結在拓撲學上可切，但並不是平滑可切。然而，這些扭結的交叉都大於12。而在交叉點數小於12的扭結中，只有康威結的切片狀態卻一直無法找到。
△劍橋大學牛頓數學科學研究所的大門，用康威扭結來做裝飾
康威在上世紀50年代時對扭結理論產生了濃厚的興趣。
他想出了一個簡單的方法，把交叉點數目不同的的扭結一一列出來，而前人將這項工作推進到10個交叉的扭結。
康威列出了所有具有11個交叉點的扭結，很快發現了它們的特殊之處，這些就是康威扭結。
△圖中只畫到了7個交叉的扭結，交叉點是兩條繩體交叉之處
11個交叉點的康威扭結，是拓撲可切的，但數學界一直無法證明它是否平滑可切。
數學家馬克·休斯（Mark Hughes）創建了一個神經網絡，利用扭結的不變量和其他信息來預測可切性等特徵。對於大多數的結，這種神經網絡能夠做出明確的預測。但它對康威結是否具有平滑可切性卻沒有確切答案。
康威扭結是否平滑可切之所以如此重要，不僅因為它困擾了數學界半個世紀。
平滑可切的扭結為數學家提供了一條探索四維空間奇特屬性的途徑。
而證明康威扭結是否為平滑可切，已經成為扭結理論重大突破的硬標準。
問題解決
數學家一直懷疑康威結不是平滑可切的，因為它缺乏一種 “帶狀性 “的特徵，而平滑可切的扭結通常具有這種特徵。
但康威結也有一個特點，使它對所有試圖證明它不是光滑切片的嘗試都無功而返。
康威扭結有一種變體，如果我們把康威扭結畫在紙上，把它的下半部分剪下來，翻轉180度再接上，那麼就得到一個Kinoshita-Terasaka扭結。
巧合的是，後面的扭結是平滑可切的。
Lisa本人喜歡扭結理論所需的視覺直覺，但她並不是扭結理論方面的專家。Lisa在波士頓大學讀本科期間的老師Elisenda Grigsby，Lisa當時並沒有展現出天才少年的潛質，但是她的創造力吸引了Grigsby教授的注意。
Grigsby教授說：“她非常相信自己的觀點，並且一直如此。”
Lisa當時正在思考關於康威扭結的問題，當時她正在考慮除了突變外將兩個結關聯起來的另一種方式。每個扭結都有一個關聯的四維形狀，它是通過將結放置在4D球的邊界上並沿著結在球上縫製某種帽而製成，數學家稱之為跡（trace）。
Gordon表示，跡以一種非常強烈的方式編碼了扭結。
不同的結可以具有相同的四維跡，數學家發現相同跡的扭結總是具有相同的可切性質：要麼都是可切的，要麼都不是。但是Lisa和萊斯大學博士後Allison Miller證明，可以將扭結跡的不變性讓我們在研究扭結可切性質的時候，構造相似扭結變得非必要。
這為Lisa證明康威扭結非平滑可切提供了一種策略：如果可以為康威扭結構造一個相同跡的扭結，那麼也許可以更好地與可切不變性配合使用。
構造這樣同跡的扭結並非易事，但是Lisa卻有非常的天賦，她只是回到家中研究就做到了這一點。
通過巧妙的扭結的組合，Lisa設法構造了一個複雜的扭結，它的跡與康威扭結相同。Lisa使用了一種叫做拉斯穆森S不變量（Rasmussen’s s-invariant）的工具，結果顯示她構造的扭結不是平滑可切的，因此康威扭結也不是。
“這是一個非常美麗的證明，”戈登說。沒有理由指望Piccirillo構造結會產生拉斯穆森的小號 -invariant，他說。“但是它起作用了……有點令人驚訝。”
Gordon給了Lisa很高的讚譽：“這是一個非常美麗的證明。”他完全沒想到Lisa用這樣一種用具實現了證明。
Lisa的本科論文導師Greene說：Lisa的工作說明拓撲學家對扭結跡的認識還存在著不足。
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