是每一個上過中學的人都熟知的事實，但是即便是非常簡單的“負負得正”，你有想過這是為什麼嗎？
1 司湯達的疑問
將財產記為正數，負債記為負數對於普通人來說確實是一件易於理解的事，這種記錄方式始於7世紀的印度，它適用於加減法的運算，比如，本來有10元，支出12元，對應的算式是
這裡的
對應的實際含義是“負債2元”。
然而，當要對其進行乘除法的時候，就會出現某些令人匪夷所思的問題，在12世紀，印度天文學家巴斯卡拉這樣說道：“財產和財產的乘積，債金和債金的乘積均為財產，財產和債金的乘積則是債金。”根據他的說法，就有
債金
債金
財產
這個公式是什麼意思呢？恐怕無人能夠理解。18世紀的大數學家歐拉在其著作《代數學入門》採用過同樣的說明方法，這讓許多學習數學的人在初遇負數相乘問題的時候感到一頭霧水。
司湯達（1783~1842）
《紅與黑》的作者，19世紀法國批判現實主義作家司湯達在其年少時酷愛數學，但他同樣也困惑於“負負得正”問題，他在其自傳中這樣寫道：
似乎是由於年少的單純，使我認為在數學中是不可能有虛假的，然而當了解了誰也沒加證明的（負×負）=（正）時，該怎麼辦才好呢（這是代數學的基礎之一）。當考慮某人有負的借款時，為何1萬法郎的借款乘以500法郎借款，就會變成500萬法郎的財產了呢……
實際上，司湯達提出了每一個學習代數的人都必然會提出的問題，即為什麼“負負得正”？該如何直觀地理解這件事？
2 從實際的角度
問題出在了對正負數的說明上。仔細想想，對於什麼是財產
財產，債金
債金，恐怕誰也無法說明，因為金額再乘以金額是沒有實際意義的。
M·克萊因（1908-1992）
對此，《古今數學思想》的作者，美國數學史家和數學教育家M·克萊因通過“負債模型”巧妙地說明瞭“負負得正”問題：
一個人每天欠債5元，從給定日期開始（比如今天）3天後欠債15元。如果將5元的負債記作
，那麼“每天欠債5元，欠債3天”可以用數學來表達：
同樣地，每天欠債5元，考慮這個人3天前的財產，那麼就應該比今天的財產多15元。如果我們用
表示3天前，用
表示每天欠債，那麼3天前他的財產情況就可以表示為
受此啟發，我們也可以舉出“批閱試卷”的例子來進行說明：
如果有一次考試某同學錯了一道題，扣5分，則將其記為
，對應的算式是：
這裡的1表示的實際含義是1道錯題。
換個角度想，假若是老師批錯了，那麼很顯然這位同學扣除的5分就會加回去了，其得分是
。1表示老師批對，那麼相對應地，
則表示老師批錯，對應的算式是：
上述兩個例子是自然的，也是合乎情理的，可以幫助我們理解“負負得正”。
3 從運算邏輯的角度
從運算邏輯的角度來說，負負也必須要得正，因為有理數的運算必須遵循乘法分配律：
我們規定
實際上就是為了讓負數的運算依然能保持乘法分配律的結果，例如：
則
根據乘法分配律，則有
因為
，所以對於
，其結果只能為1.
4 從幾何的角度
給定
，
，則
和
均為正數。如圖，則乘積
表示的實際含義是以
和
為兩邊的矩形（斜線陰影部分）的面積。
那麼，這個矩形是如何變換得到的呢？實際上，它是由原來以
，
為兩邊的大矩形先取走標以水平線陰影的矩形面積
，再取走標以豎直線陰影的矩形面積
，但這樣取走了兩次標以雙重線陰影的矩形面積
，必須將其放回，因此：
在這裡如果令
，便得到
即得到了負數相乘的符號法則。
5 不能加以證明的“負負得正”
實際上，上述對“負負得正”的一些看似合理的說明充其量只是某些“解釋”，而不能將其稱之為嚴格的數學證明。特別是上面“從幾何角度來說明負負得正”的例子，這樣的“論證”是虛假的，因為它完全忽視了
公式之所以成立取決於不等式
，
，而令
則完全違背了這一點。
負數經過了很長一段時間才被人們所接受，很難相信直到17世紀其合法性還不能像正整數那樣被人們所普遍承認，當有必要使用它們時，人們是相當猶疑和不安的，數學家有時將負數稱為虛構數、假數之類。因為人類的天性更傾向於依附“具體”的事物，比如可數的物體（正整數）。對負數的運算毫無疑問是抽象的，為此人們曾反覆地企圖證明符號法則，但都失敗了。
對數學家來說，經過了很長一段時間才認識到“負負得正”以及負數、分數所服從的其他定義是不能加以“證明”的。它們是我們創造出來的，為的是在保持算術基本規律的條件下使運算能夠自如。能夠並且必須加以證明的僅僅是：在這些定義的基礎上，算術的交換律、結合律、分配律是保持不變的。
參考文獻[1]（日）遠山啟.數學與生活[M].呂硯山等譯.人民郵電出版社，2014.[2]（美）R·柯朗，H·羅賓. 什麼是數學——對思想和方法的基本研究[M].復旦大學出版社，2012.[3]（德）菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學（第一卷）——算術 代數 分析[M].舒湘芹等譯.復旦大學出版社，2008.
來源：大小吳的數學課堂
編輯：zhenni
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